Формула Ньютона-Лейбница

Если $f(x)$ - интегрируема на $[a, b]$ и $F(x)$ - её первообразная, то $$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) = F(x) \Bigg|_{a}^{b}$$

Рассмотрим произвольное разбиение $\tau = \{a = x_{0} < x_{1} < \dots < x_{n} = b\}$, и заметим, что: $$F(b) - F(a) = \sum_{k=0}^{n-1} (F(x_{k+1}) - F(x_{k})) ~~~(*)$$ Тогда по теореме Лагранжа $\exists{\xi_{k} \in (x_{k}, x_{k+1})}$ такие, что: $$(*) = \sum_{k=0}^{n-1} F'(\xi_{k})\Delta x_{k} = \sum_{k=0}^{n-1} f(\xi_{k})\Delta x_{k} = S(f, \tau, \xi)$$ Из интегрируемости $f(x)$ получаем: $$\forall{\varepsilon > 0}\mathpunct{:}~~ \left| S(f, \tau, \xi) - \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right| = \left| F(b) - F(a) - \int_{a}^{b} f(x) \, dx \right| < \varepsilon$$ А значит: $\int\limits_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$ $~~~\square$